Конспект уроку на тему "Комбінаторні задачі"

Тип матеріалу: 
Предмет: 
Навчальний рівень: 

Алла Загорулько, учитель математики та інформатики гімназії №261, Дарницький р-н, м. Київ

Мета: ознайомлювати учнів із новим типом задач (комбінаторні задачі) і способами їх розв'язання: спосіб перебору, побудова дерева можливих варіантів, правило множення; розвивати логічне мислення, пам'ять, культуру математичної мови і записів; виховувати інтерес до математики, бережливее ставлення до підручників, гордість за свою Батьківщину.

Тип уроку: відкриття нових знань.

Програмне забезпечення: динамічні слайди, підготовлені за допомогою програми MS PowerPoint.

Обладнання: підручник, дошка, крейда, роздатковий матеріал (пустографки таблиць для перебору та схем для побудови дерева можливих варіантів), мультимедійний проектор.

ХІД УРОКУ

I. Організаційний етап

Учитель. Доброго дня, діти! Всі ви в цьому році отримали нові підручники. Дуже добре, що ви всі дуже дбайливо до них ставитесь, впевнена, що вони такі ж охайні перейдуть до наступного покоління школярів. Та нові ваші підручники не тільки зовні, але й за змістом. Наприклад, у підручнику з математики з'явилася нова цікава тема, яку не розглядали раніше п'ятикласники: «Комбінаторні задачі». Але перш ніж перейти до цієї теми перевіримо ваше домашнє завдання і дізнаємось, яке слово зашифровано на дошці сьогодні.

II. Перевірка домашнього завдання

За підручником «Математика. 5 клас», Тарасенкова Н.А, Богатирьова І.М. та ін.):

№ 792: Знайдіть об'єм куба, ребро якого дорівнює:

1) 2 м; 2) 3 м; 3) 10 дм.

№ 805: Знайдіть об'єм куба, якщо площа його грані дорівнює:

1) 16 см2; 2) 144 дм2; 3) 400 м2.

№ 817(1): Розв'яжіть рівняння:

(25):15=4+136.

На дошці таблиця:

Таблиця 1

№ 792(1)

№ 792(2)

№ 792(3)

№ 805(1)

№ 805(2)

№ 805(3)

№ 817(1)

Я

д

р

е

н

к

о

Під нею записи, складені з пар відповідей і букв (так як прізвище незнайоме, то можна рівно по кількості букв, у випадку шифрування загальновживаних слів або прислів'я краще на 2—3 пари більше): 27 см3—Д, 2075 — О, 100 дм3 — Р, 8000 м3 — К, 64 см3 — Е, 8 м3 — Я, 1728 дм3 — Н (табл. 1).

Учень це не посудина, яку потрібно наповнити, а факел, який треба запалити.

К. Д. Ушинський

Зашифроване слово: Ядренко.

Учитель. Ми з вами розшифрували прізвище відомого математика України Михайла Йосиповича Ядренка, який багато сил та енергії віддав розвитку шкільної математичної освіти, організації шкільних олімпіад і виданню сучасних посібників, зокрема з комбінаторики.

Окремо слід відмітити титанічну роботу Михайла Йосиповича Ядренка з виховання талановитої молоді в галузі математики. Понад 40 років він був постійним організатором шкільних математичних олімпіад різного рівня та математичних гуртків для школярів і студентів. З 1970 року очолював журі всеукраїнських олімпіад для школярів. Багато років виступав із лекціями з математики для школярів на українському телебаченні. Михайло Йосипович заснував унікальний журнал для школярів «У світі математики», незмінним редактором якого він був починаючи з 1970 року. Він також був керівником Всеукраїнської заочної фізико-математичної олімпіади, яка проводиться журналом «У світі математики».

Рис. 1

III. Введення нових знань

Учитель. Що це за наука «комбінаторика»?

Дедалі частіше в житті приходиться розв'язувати задачі, головним питанням у яких є: «Скількома способами це можна зробити

Наприклад:

• Скількома способами можна скласти 11 грн з паперових купюр?

• Скількома способами можна встановити на кодовий замок код із чотирьох цифр?

• Скількома способами можна поставити оцінку учневі на уроці?

• Скількома способами можна розсадити Максима, Віку та Андрія на м'який стілець, крісло і табурет?

У цих задачах задано елементи для комбінування і вимагається знайти кількість можливих комбінацій.

І саме такі задачі отримали назву: комбінаторні задачі. А розділ математики, в якому розглядаються подібні задачі, називають комбінаторикою. Коли ж вона з'явилася? (Рис. 2.)

Рис. 2

IV. Формування нових умінь

Учитель. Розв'яжемо задачу: скількома способами можна встановити, в якій послідовності можуть виступати на сцені Богдан, Максим і Валерія.

Є декілька способів розв'язання таких задач. Розглянемо і спробуємо їм дати назви.

Перший спосіб (до дошки викликають 3-х учнів із різними іменами).

Учні з місць пропонують варіанти послідовності виступів, які на дошці записуються у вигляді послідовності букв (по перших буквах імен дітей біля дошки).

(Учитель коментує заповнення першого рядка.)

Нехай першим буде виступати Богдан. Другим — Максим. Третьою тоді буде Валерія. По перших літерах імен записуємо в таблицю 2 послідовність букв: БМВ. Якщо першим залишити Богдана, а Максима і Валерію поміняти місцями, то вийде така черговість виступу: БВМ.

Учитель. Тепер нехай першим буде Максим. У якій послідовності після нього можуть виступати Богдан і Валерія. (МБВ і МВБ.) Які ще варіанти залишились? (ВБМ і ВМБ.) У результаті отримаємо таблицю 1:

Таблиця 1

БМВ

БВМ

МВБ

МБВ

ВБМ

ВМБ

Учитель. Так скільки варіантів? (Шість.)

Що ми з вами робили, щоб знайти всі можливі варіанти розв'язання задачі? (Перебирали всі можливі послідовності.)

Справді, ми з вами перебрали всі можливі варіанти — тож і метод називається метод перебору.

Задача 1. Спробуйте тепер самотужки розв'язати задачу: «Скількома способами можна скласти розклад трьох перших уроків у 5-му класі з предметів: математика, українська мова, історія?».

Нагадую, ви повинні перебрати і записати всі можливі варіанти, використовуючи скорочене позначення елементів: М, У, І. На столах у вас листочки-помічники. Ви можете вибрати, яка з таблиць підходить для розв'язання задачі і заповнити її за нашим зразком (шаблони роздруковані для кожної дитини, додаток 1).

Тепер розгорніть с. 183 підручника і перевірте, чи правильно ви розв'язали задачу.

Зверніть увагу на оформлення подібних задач. Ми повинні записати, яке слово сховано за кожною літерою, отримані варіанти перебору записати в таблицю і обов'язково записати повну відповідь в задачі. Проте це не єдиний спосіб оформлення розв'язання подібних задач.

Другий спосіб

Допоможуть розібратися знайомі нам Богдан, Максим і Валерія.

(Учитель спочатку коментує кроки для побудови першого розгалуження, а потім дає слово учням прокоментувати побудову кожного наступного.)

Нехай першим буде виступати Богдан. Тоді другим може виступати або Максим, або Валерія, а третім у кожному випадку може бути лише один із артистів: після Максима лише Валерія, а після Валерії лише Максим. За першими літерами імен дітей заповнюємо прямокутники і малюємо стрілочки до наступного ряду.

• На що схожий наш малюнок? (На перевернуте дерево.)

Правильно, на дерево. Тож і метод називається побудова дерева можливих варіантів.

• Як будуємо наступне «дерево»?

• Хто тепер буде першим?

• Хто може виступати після нього?

• Як це записуємо у схемі?

• Які варіанти для третього рядочка схеми?

Молодці! Отаке розлоге дерево ми з вами отримали.

Отже, ми тепер знаємо два методи.

• Які саме? (Перебір, дерево можливих варіантів.)

Спробуйте тепер самостійно створити таке дерево для наступної задачі: «Скількома способами можна склеїти святковий прапорець із трьох однакових за розміром прямокутників жовтого, зеленого і червонного кольорів?». (Рис. 3.)

Можете користуватися заготовками, які лежать у вас на робочих місцях.

Учні повинні отримати дерево варіантів.

Давайте нагадаємо, як ми міркуємо при побудові дерева можливих варіантів?

Коментуємо по черзі метод «Мікрофон». (Нехай перший колір буде жовтий, тоді другий колір може бути зелений або червоний. Третій колір обирається однозначно.)

Рис. 3

• Як ви думаєте, скільки часу знадобиться, щоб перебрати всі можливі варіанти прапорців з чотирьох кольорів? А якщо їх буде 9?

• Не дуже зручно і дуже громіздко. Що ж робити?

А тут нам допоможе третій спосіб.

Учитель. Скажіть, скількома способами можна обрати перший колір прапорця? (Чотирма.) А скільки залишилось можливостей для обрання другого кольору? (Три.) Тоді для третього це лише скільки варіантів? (Два варіанти.) А останній колір? (Тільки один.)

Отже, всіх можливих варіантів: 4∙3∙2∙1=24 (рис. 4).

Розлоге дерево було б, якби ми його будували, і таблиця вийшла б немаленька. Спробуйте знайти їх на ваших листочках (додаток 2).

Яку дію ми використали? (Множення.)

Тож і правило називається «правило множення».

Тому ви бачите, що останній метод дуже гарний для великої кількості елементів задачі, але не такий наглядний.

Рис. 4

V. Самостійна робота з перевіркою по еталону

Спочатку з'являються задачі. Після того як більшість дітей їх виконала, проговорюється розв'язання за правилом множення.

VI. Підсумок уроку

Учитель.

• Які задачі ми розв'язували? (Комбінаторні.)

• Які методи використовували? (Перебору, побудови дерева можливих варіантів, правило множення.)

• Який з методів вам найбільше сподобався? Сформулюйте алгоритм розв'язання задачі за цим методом.

• Який метод дасть відповідь найшвидше?

• Який метод не дасть змогу заплутатись?

VII. Домашнє завдання

§ 22, придумати і розв'язати різними способами три комбінаторні задачі. Можна взяти з собою шаблони і листочки зі схемами.

Додаток 1

Задача 1, 2

Табл.

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема

Задача 3

Табл.

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема

Додаток 2

Задача 4

Табл.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема

Математика. Шкільний світ. - 2014. - №2.

До публікації на сайті Освітнього порталу "Академія" приймаються нові авторські конспекти уроків; методичні розробки; сценарії виховних заходів; зразки шкільних творів та переказів, які відповідають новій навчальній програмі.

Популярний ВНЗ